3.2468 \(\int \frac{\sqrt{d+e x}}{\left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=605 \[ -\frac{\sqrt{2} \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} \left (-4 c e (4 b d-3 a e)+b^2 e^2+16 c^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right ) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}}}-\frac{2 (b+2 c x) \sqrt{d+e x}}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} (2 c d-b e) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (-c x \left (-4 c e (4 b d-3 a e)+b^2 e^2+16 c^2 d^2\right )-4 b c \left (a e^2+2 c d^2\right )-4 a c^2 d e+b^3 \left (-e^2\right )+9 b^2 c d e\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )} \]

[Out]

(-2*(b + 2*c*x)*Sqrt[d + e*x])/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (2*Sq
rt[d + e*x]*(9*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - 4*b*c*(2*c*d^2 + a*e^2) - c*(
16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*
d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[2]*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*
b*d - 3*a*e))*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*Ellipti
cE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*
Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3/2
)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)
]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (16*Sqrt[2]*(2*c*d - b*e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(2*c*d -
(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*Ellipt
icF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2
*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3/
2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.69955, antiderivative size = 605, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.25 \[ -\frac{\sqrt{2} \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} \left (-4 c e (4 b d-3 a e)+b^2 e^2+16 c^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right ) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}}}-\frac{2 (b+2 c x) \sqrt{d+e x}}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} (2 c d-b e) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (-c x \left (-4 c e (4 b d-3 a e)+b^2 e^2+16 c^2 d^2\right )-4 b c \left (a e^2+2 c d^2\right )-4 a c^2 d e+b^3 \left (-e^2\right )+9 b^2 c d e\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]  Int[Sqrt[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2)^(5/2),x]

[Out]

(-2*(b + 2*c*x)*Sqrt[d + e*x])/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (2*Sq
rt[d + e*x]*(9*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - 4*b*c*(2*c*d^2 + a*e^2) - c*(
16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*
d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[2]*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*
b*d - 3*a*e))*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*Ellipti
cE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*
Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3/2
)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)
]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (16*Sqrt[2]*(2*c*d - b*e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(2*c*d -
(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*Ellipt
icF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2
*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3/
2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((e*x+d)**(1/2)/(c*x**2+b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 13.2641, size = 3560, normalized size = 5.88 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[Sqrt[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2)^(5/2),x]

[Out]

(Sqrt[d + e*x]*(a + b*x + c*x^2)^3*((-2*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x +
c*x^2)^2) + (2*(8*b*c^2*d^2 - 9*b^2*c*d*e + 4*a*c^2*d*e + b^3*e^2 + 4*a*b*c*e^2
+ 16*c^3*d^2*x - 16*b*c^2*d*e*x + b^2*c*e^2*x + 12*a*c^2*e^2*x))/(3*(-b^2 + 4*a
*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))))/(a + x*(b + c*x))^(5/2) + (2*
c*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(((-16*c^2*d^2 + 16*b*c*d*e - b^2*e^2 - 12*a*c*e^2)*(d
+ e*x)^(3/2)*(c + (c*d^2)/(d + e*x)^2 - (b*d*e)/(d + e*x)^2 + (a*e^2)/(d + e*x)
^2 - (2*c*d)/(d + e*x) + (b*e)/(d + e*x)))/(c*Sqrt[((d + e*x)^2*(c*(-1 + d/(d +
e*x))^2 + (e*(b - (b*d)/(d + e*x) + (a*e)/(d + e*x)))/(d + e*x)))/e^2]) + ((c*d^
2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*Sqrt[c + (c*d^2)/(d + e*x)^2 - (b*d*e)/(d + e*x)^2
+ (a*e^2)/(d + e*x)^2 - (2*c*d)/(d + e*x) + (b*e)/(d + e*x)]*(((4*I)*Sqrt[2]*c^2
*d^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^
2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 -
b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(Elliptic
E[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2
- 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*
d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d
^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]],
(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e
^2])]))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - S
qrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c
*d + b*e)/(d + e*x)]) - ((4*I)*Sqrt[2]*b*c*d*e*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a
*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a
*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b
^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b
*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*
d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]
- EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqr
t[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e
^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[
-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (
c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) + ((I/2)*b^2*e^2
*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/
((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*
e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*
ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*
a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d -
b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 -
b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*
c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])
]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e
- Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (
-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) + ((3*I)*Sqrt[2]*a*c*e^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 -
4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 -
4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sq
rt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2
- b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (
2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2
])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e -
Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a
*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*S
qrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c
+ (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) + ((8*I)*Sqr
t[2]*c^2*d*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4
*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt
[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 -
b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c
*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]
)/(Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sq
rt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) - ((4*I)
*Sqrt[2]*b*c*e*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2
- 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e +
Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^
2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]],
(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^
2])])/(Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))
]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)])))/(c
*Sqrt[((d + e*x)^2*(c*(-1 + d/(d + e*x))^2 + (e*(b - (b*d)/(d + e*x) + (a*e)/(d
+ e*x)))/(d + e*x)))/e^2])))/(3*(-b^2 + 4*a*c)^2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a +
x*(b + c*x))^(5/2))

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.117, size = 13071, normalized size = 21.6 \[ \text{output too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((e*x+d)^(1/2)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{e x + d}}{{\left (c x^{2} + b x + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(e*x + d)/(c*x^2 + b*x + a)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(e*x + d)/(c*x^2 + b*x + a)^(5/2), x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{\sqrt{e x + d}}{{\left (c^{2} x^{4} + 2 \, b c x^{3} + 2 \, a b x +{\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} x^{2} + a^{2}\right )} \sqrt{c x^{2} + b x + a}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(e*x + d)/(c*x^2 + b*x + a)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(e*x + d)/((c^2*x^4 + 2*b*c*x^3 + 2*a*b*x + (b^2 + 2*a*c)*x^2 + a^2
)*sqrt(c*x^2 + b*x + a)), x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x+d)**(1/2)/(c*x**2+b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(e*x + d)/(c*x^2 + b*x + a)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out